函數(shù)有界是什么意思 和極限存在的關(guān)系

函數(shù)有界就是指在函數(shù)的定義域內(nèi)，這個(gè)函數(shù)的所有函數(shù)值的絕對(duì)值不會(huì)比某個(gè)固定的正數(shù)M大。顯然這個(gè)固定的正數(shù)M不是唯一的，比如若有一個(gè)正數(shù)M1滿足條件，則任何一個(gè)大于M1的正數(shù)M2也滿足條件，都可以作為定義里的固定數(shù)M，就像舉的例子sinx那樣。

函數(shù)有界是什么意思

函數(shù)有界性的定義：若存在兩個(gè)常數(shù)m和M，使函數(shù)y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D ，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。外界函數(shù)有界，復(fù)合函數(shù)必有界。

函數(shù)有界，從幾何意義看就是圖形被框定在兩條平行于x軸的直線之間，不會(huì)跑出去；從代數(shù)意義看，就是函數(shù)值不會(huì)趨于正無(wú)窮大，也不會(huì)趨于負(fù)無(wú)窮大；當(dāng)時(shí)并不意味著有極限，比如y=sinx，被框定在y=±1這兩條直線之間，x→∞時(shí)，sinx游走于[-1,+1]之間。

函數(shù)有界和極限存在的關(guān)系

一、本質(zhì)不同

1、極限：某一個(gè)函數(shù)中的某一個(gè)變量，在不斷變化的過(guò)程中逐漸接近于某個(gè)值A(chǔ)。它不可能與a相吻合（“不等于a，但等于a”足以獲得高精度的計(jì)算結(jié)果）。

這個(gè)變量的變化被人為地定義為“永遠(yuǎn)靠近而不停止”。它的趨勢(shì)是“不斷地極為靠近A點(diǎn)的趨勢(shì)”。

2、函數(shù)有界：如果有兩個(gè)常數(shù)m和M，函數(shù)y=f（x），x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D，函數(shù)y=f（x）有界于d，其中m為下界，M為上界。

二、幾何中的應(yīng)用不同

1、函數(shù)有界有界

（1）函數(shù)在某區(qū)間上不是有界就是無(wú)界，二者必屬其一；

（2）從幾何學(xué)的角度很容易判別一個(gè)函數(shù)有界。如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函數(shù)的圖形介于它們之間，那么函數(shù)一定是無(wú)界的。

2、極限

當(dāng)n>N時(shí)，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味著：所有下標(biāo)大于N的Xn都落在(a-ε，a+ε)內(nèi)；而在(a-ε，a+ε)之外，數(shù)列{xn} 中的項(xiàng)至多只有N個(gè)（有限個(gè)）。

換句話說(shuō)，如果存在某 ε0>0，使數(shù)列{xn} 中有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)落在(a-ε0，a+ε0) 之外，則{xn} 一定不以a為極限。