重心是什么的交點 有哪些性質(zhì)

重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等，重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

三角形重心定義及性質(zhì)證明

三角形重心是三角形三中線的交點。當(dāng)幾何體為勻質(zhì)物體且重力場均勻時，重心與該形中心重合。

證明一

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交于G。

求證：EG=1/2CG

證明：過E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

重心的性質(zhì)是什么

1.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2.重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3.重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均。

5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。

6.三角形ABC的重心為G，點P為其內(nèi)部任意一點，則3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。

7.在三角形ABC中，過重心G的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP+AC/AQ=3

8.從三角形ABC的三個頂點分別向以他們的對邊為直徑的圓作切線，所得的6個切點為Pi，則Pi均在以重心G為圓心，r=1/18(AB2+BC2+CA2)為半徑的圓周上。

9、G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3PG2。